Transformada de Fourier de la función seno y coseno: una guía completa
La transformada de Fourier es una herramienta matemática fundamental en el análisis de señales y sistemas. Permite descomponer una señal en sus componentes de frecuencia, proporcionando una comprensión profunda de su contenido espectral. En este contexto, la transformada de Fourier de la función seno y la transformada de Fourier de la función coseno desempeñan un papel crucial, ya que representan dos de las funciones básicas que se utilizan para construir señales más complejas.
En este artículo, exploraremos en detalle el cálculo de la transformada de Fourier del seno y la transformada de Fourier del coseno. Comenzaremos definiendo la transformada de Fourier para una función continua y luego aplicaremos esta definición a las funciones seno y coseno. A través de la fórmula de Euler, expresaremos las funciones seno y coseno como combinaciones de exponenciales complejas, simplificando el cálculo de la transformada de Fourier.
Definición de la transformada de Fourier
La transformada de Fourier de una función continua $f(t)$ se define como:
$$
F(omega) = int_{-infty}^{infty} f(t)e^{-jomega t} dt
$$
donde $omega$ representa la frecuencia angular, y $j$ es la unidad imaginaria. La transformada de Fourier $F(omega)$ representa la distribución espectral de la señal $f(t)$, es decir, cómo la energía de la señal está distribuida en diferentes frecuencias.
Transformada de Fourier de la función seno
Para calcular la transformada de Fourier del seno ($f(t) = sin(omega_0 t)$), primero expresamos la función seno utilizando la fórmula de Euler:
$$
sin(omega0 t) = frac{e^{jomega0 t} – e^{-jomega_0 t}}{2j}
$$
Sustituyendo esta expresión en la definición de la transformada de Fourier, obtenemos:
$$
F(omega) = int{-infty}^{infty} frac{e^{jomega0 t} – e^{-jomega_0 t}}{2j} e^{-jomega t} dt
$$
Simplificando la expresión y realizando la integración, encontramos que la transformada de Fourier de la función seno es:
$$
F(omega) = frac{pi}{j} [delta(omega – omega0) – delta(omega + omega0)]
$$
donde $delta(omega)$ es la función delta de Dirac, que es cero para todos los valores de $omega$ excepto en $omega = 0$, donde es infinita. La transformada de Fourier del seno representa una combinación de dos funciones delta de Dirac, centradas en las frecuencias $omega0$ y $-omega0$, con una fase de $-jpi$.
Transformada de Fourier de la función coseno
De manera similar, para calcular la transformada de Fourier del coseno ($f(t) = cos(omega_0 t)$), primero expresamos la función coseno utilizando la fórmula de Euler:
$$
cos(omega0 t) = frac{e^{jomega0 t} + e^{-jomega_0 t}}{2}
$$
Sustituyendo esta expresión en la definición de la transformada de Fourier, obtenemos:
$$
F(omega) = int{-infty}^{infty} frac{e^{jomega0 t} + e^{-jomega_0 t}}{2} e^{-jomega t} dt
$$
Simplificando la expresión y realizando la integración, encontramos que la transformada de Fourier de la función coseno es:
$$
F(omega) = pi [delta(omega – omega0) + delta(omega + omega0)]
$$
La transformada de Fourier del coseno representa una combinación de dos funciones delta de Dirac, centradas en las frecuencias $omega0$ y $-omega0$, pero en este caso con fase cero.
Interpretación de las transformadas de Fourier de seno y coseno
Las transformadas de Fourier de la función seno y coseno nos permiten comprender cómo estas funciones se descomponen en componentes de frecuencia. Ambas transformadas están compuestas por dos funciones delta de Dirac, lo que indica que las funciones seno y coseno están concentradas en dos frecuencias específicas: $omega0$ y $-omega0$.
La diferencia fundamental entre las dos transformadas reside en la fase: la transformada de Fourier del seno presenta una fase de $-jpi$, mientras que la transformada de Fourier del coseno tiene una fase cero. Esta diferencia en la fase refleja la naturaleza de las funciones seno y coseno. La función seno es una función impar, mientras que la función coseno es una función par.
Resumen y conclusiones
La transformada de Fourier del seno y la transformada de Fourier del coseno son herramientas importantes en el análisis de señales. Permiten descomponer estas funciones básicas en sus componentes de frecuencia, proporcionando una visión profunda de su contenido espectral. La aplicación de la fórmula de Euler facilita el cálculo de las transformadas, mostrando que las transformadas de ambas funciones están compuestas por dos funciones delta de Dirac, ubicadas en las frecuencias $omega0$ y $-omega0$, con una fase que refleja la naturaleza impar y par de las funciones seno y coseno, respectivamente.