Análisis de Estabilidad: Criterio de Routh-Hurwitz
Este capítulo profundiza en el análisis de estabilidad de sistemas de control de lazo cerrado en el dominio ‘s’, utilizando el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Para determinar la estabilidad, se necesita la ecuación característica del sistema. El criterio de Routh-Hurwitz establece condiciones necesarias y suficientes para garantizar la estabilidad.
Condiciones Necesarias y Suficientes para la Estabilidad
El criterio de Routh-Hurwitz proporciona dos condiciones cruciales para determinar la estabilidad:
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Condición necesaria: Los coeficientes del polinomio característico deben ser positivos. Esta condición implica que todas las raíces de la ecuación característica deben tener partes reales negativas. Si un sistema no cumple esta condición, se considera inestable.
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Condición suficiente: Todos los elementos de la primera columna del arreglo de Routh deben tener el mismo signo. Si esta condición se cumple, el sistema es estable.
El Arreglo de Routh: Un Camino hacia la Estabilidad
El método del arreglo de Routh es una herramienta poderosa para determinar la estabilidad sin calcular explícitamente las raíces de la ecuación característica. Se construye una tabla, llamada arreglo de Routh, y se cuenta el número de cambios de signo en la primera columna. Cada cambio de signo indica una raíz de la ecuación característica en el semiplano derecho de ‘s’, lo que implica la inestabilidad del sistema.
Construcción del Arreglo de Routh
La construcción del arreglo de Routh comienza con la ecuación característica del sistema, escrita como un polinomio en ‘s’. Las filas del arreglo se rellenan con los coeficientes del polinomio. La primera fila contiene los coeficientes de los términos de mayor a menor potencia de ‘s’. La segunda fila contiene los coeficientes de los términos de segundo grado a cero grado. Las filas restantes se calculan mediante una serie de operaciones matemáticas, que involucran diferencias y multiplicaciones de los elementos de las filas anteriores.
Casos Especiales en el Arreglo de Routh
En ciertos casos, pueden surgir dificultades en la construcción del arreglo de Routh, como:
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Primer elemento de una fila es cero: Se utiliza una técnica especial, como la introducción de un término pequeño en la ecuación característica, para superar este obstáculo.
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Todos los elementos de una fila son cero: Esto indica la presencia de raíces repetidas en la ecuación característica. Se utiliza una técnica de derivación para obtener una nueva fila y completar el arreglo de Routh.
Interpretación del Arreglo de Routh
El número de cambios de signo en la primera columna del arreglo de Routh determina el número de polos del lazo cerrado en el semiplano derecho de ‘s’. Cada cambio de signo representa un polo inestable. Si no hay cambios de signo, todos los polos están en el semiplano izquierdo, lo que significa que el sistema es estable.
El Criterio de Routh-Hurwitz y los Polos del Sistema
El criterio de Routh-Hurwitz proporciona información sobre la ubicación de los polos del lazo cerrado en el plano ‘s’. Los polos pueden estar en el semiplano izquierdo, el semiplano derecho o en el eje imaginario. Si los polos están en el semiplano derecho, el sistema es inestable. Si los polos están en el semiplano izquierdo, el sistema es estable. Si los polos están en el eje imaginario, el sistema es marginalmente estable, lo que significa que está en el borde de la estabilidad.
Limitaciones del Criterio de Routh-Hurwitz
El criterio de Routh-Hurwitz solo indica la estabilidad del sistema, no proporciona información sobre el comportamiento dinámico del sistema. Para obtener información más detallada sobre la naturaleza del sistema, se necesita una técnica más avanzada, como el locus de raíces, que se analizará en capítulos posteriores.
Resumen
El criterio de Routh-Hurwitz es una herramienta fundamental en el análisis de estabilidad de sistemas de control. Al analizar el arreglo de Routh, se pueden determinar las condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad. Este criterio, junto con el locus de raíces, proporciona una base sólida para el diseño y análisis de sistemas de control.